Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞1）．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并給予證明；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式可得

1+x

1-x

＞0，即（x+1）（x-1）＜0，由此求得故函數(shù)的定義域．
（Ⅱ）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（Ⅲ）由f（x）＞0 可得

1+x

1-x

＞1，即2x（x-1）＜0，由此求得x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞1），可得

1+x

1-x

＞0，即

x+1

x-1

＜0，
即（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
（Ⅱ）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)．
（Ⅲ）由f（x）＞0 可得

1+x

1-x

＞1，即

2x

x-1

＜0，2x（x-1）＜0，
解得 0＜x＜1，故所求的x的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷，解分式不等式，屬于中檔題．