Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x．
（Ⅰ）若x＞1，求證：f(x)＞2g(

x-1

x+1

)；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)k的取值范圍，使得方程

1

2

g(x2)-k=2f(1+|x|)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先令F(x)=f(x)-2g(

x-1

x+1

)=lnx-2

x-1

x+1

，求導(dǎo)數(shù)得到F′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．
利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得出F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．F（x）＞F（1）．從而證得結(jié)論；
（Ⅱ）原方程化為

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)=k，令G(x)=

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)，則G(x)=

1

2

x2-2ln(1+|x|)．
利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可解決問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）令F(x)=f(x)-2g(

x-1

x+1

)=lnx-2

x-1

x+1

，F′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∵F（x）在x=1 處連續(xù)，∴F（x）＞F（1）．
∵F（1）=0，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0 恒成立．
∴f(x)＞2g(

x-1

x+1

)．
（Ⅱ）原方程化為

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)=k，
令G(x)=

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)，則G(x)=

1

2

x2-2ln(1+|x|)．
∵G（-x）=G（x），∴G（x）是偶函數(shù)．
當(dāng)x≥0時(shí)，G(x)=

1

2

x2-2ln(1+x)（x≥0），
則G′(x)=x-

2

1+x

=

x2+x-2

1+x

．
∵x≥0，∴令G'（x）=0，得x=1．
當(dāng)x∈[0，1），G'（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞），G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增．
∴x≥0時(shí)，在x=1處G（x）取得極小值為G（1）=

1

2

-2ln2．
又G（0）=0，∴當(dāng)k∈（

1

2

-2ln2，0）時(shí)函數(shù)G(x)=

1

2

x2-2ln(1+x)（x≥0）與y=k 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
∵G（x）是偶函數(shù)，
∴G（x）=k在k∈（

1

2

-2ln2，0）時(shí)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．