Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的單調(diào)性和極小值（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，可求得的值，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

（2）由的，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，由參變量分離法得出對(duì)任意的恒成立，求出二次函數(shù)在上的最大值，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），，

由于曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則，可得.

此時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，，令，得.

列表如下：

		極小值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

函數(shù)的極小值為；

（2）由的，

設(shè)，則，

由于，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，由題意可知對(duì)任意的恒成立，可得，

對(duì)于二次函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.