Question

設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：直線PB∥面ACE
（2）求證：直線AE⊥面PCD
（3）求直線AC與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，由三角形中位線定理可得OE∥PB，由直線與平面平行的判定定理可得直線PB∥面ACE
（2）由已知中PA⊥面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，可得PA⊥CD，CD⊥AD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAD，根據(jù)線面垂直的可得CD⊥AE，結(jié)合已知中PA=AB=AD，E為PD的中點(diǎn)，我們可得AE⊥PD，由線面垂直的判定定理，即可得到答案．
（3）由（2）的結(jié)論可得：AC在面PCD內(nèi)的射影為CE，則直線AC與平面PCD所成角為∠ACE，解三角形ACE即可求出直線AC與平面PCD所成角的大小．

解答：解：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE
易知：O為BD的中點(diǎn)
而E為PD的中點(diǎn)
∴OE∥PB
又PB不在平面ACE內(nèi)，OE在平面ACE內(nèi)
∴PB∥平面ACE         …（4分）
（2）證明：∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD
∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故：CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中，PA=AB=AD，E為PD的中點(diǎn)∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD…（8分）
（3）由（2）知：AC在面PCD內(nèi)的射影為CE
故直線AC與平面PCD所成角為∠ACE        …（10分）
由于PA=AB=AD=2，在直角三角形ACF中，易知：AE=

2

，AC=2

2

∴sin∠ACE=

AE

AC

=

1

2

∴∠ACE=30°
即：直線AC與平面PCD所成角的大小為30°     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是證得OE∥PB，（2）的關(guān)鍵是證得CD⊥AE，AE⊥PD，（3）的關(guān)鍵是證得直線AC與平面PCD所成角為∠ACE．