Question

設四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E為PD的中點．
（1）求證：直線PB∥面ACE
（2）求證：直線AE⊥面PCD
（3）若二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）在平面內找到一條直線與平面外的已知直線平行，即可得到線面平行．
（2）分別證明平面內的兩條相交與已知直線垂直，根據線面垂直的判斷定理可得線面垂直．
（3）首先作出二面角的平面角，再證明此角既是所求角，然后把角放入三角形中利用解三角形的有關知識求解即可得到答案．

解答：解：（1）連接BD交AC于點O，連接OE
易知：O為BD的中點
而E為PD的中點∴OE∥PB
又PB不在平面ACE內，OE在平面ACE內
∴PB∥平面ACE        
（2）∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故：CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中，PA=AB=AD，E為PD的中點∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD
（3）過E作EF⊥PC于F，連接AF
由（2）知：AF在面PCD內的射影為EF∴AF⊥PC
故：二面角A-PC-D的平面角為∠AFE        
由于PA=AB=AD=2，在直角三角形AEF中，易知：AE=

2

，AF=

2 6

3

∴sin∠AFE=

AE

AF

=

3

2

∴∠AFE=60°  即：二面角A-PC-D的大小為60°

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，結合已知條件進而證明線面平行，線面垂直以及求出二面角的平面角．