【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，直線(xiàn)l的方程為：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線(xiàn)l與橢圓相交于、兩點(diǎn)

①若線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點(diǎn)，求證：為定值

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為

【解析】

試題(1)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,可以看作是以長(zhǎng)為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線(xiàn)和橢圓相交，其方程聯(lián)立方程組，消去，可得關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理可得，這就是相交弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出，把用坐標(biāo)表示出來(lái)，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>滿(mǎn)足，， 2分

，解得，，

則橢圓方程為.

（Ⅱ）（1）設(shè)，將代入并化簡(jiǎn)得

，

則是上述方程的解

，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得.

（2）由（1），，

，為定值

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A. B. C. D.

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【題目】已知等軸雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)且垂足為，.

（1）求等軸雙曲線(xiàn)的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求的值；

（3）假設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由.

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【題目】為了在夏季降溫和冬季取暖時(shí)減少能源消耗，業(yè)主決定對(duì)房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料，該材料有效使用年限為20年．已知房屋外表噴一層這種隔熱材料的費(fèi)用為每毫米厚6萬(wàn)元，且每年的能源消耗費(fèi)用（萬(wàn)元）與隔熱層厚度（毫米）滿(mǎn)足關(guān)系：．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與年的能源消耗費(fèi)用之和．

（1）請(qǐng)解釋的實(shí)際意義，并求的表達(dá)式；

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年齡

人數(shù)

100

150

200

50

已知，，三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購(gòu)物的人數(shù)依次構(gòu)成遞減的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）若將年齡在內(nèi)的上網(wǎng)購(gòu)物者定義為“消費(fèi)主力軍”，其他年齡段內(nèi)的上網(wǎng)購(gòu)物者定義為“消費(fèi)潛力軍”.現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者中抽取5人，再?gòu)倪@5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費(fèi)潛力軍的概率.

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