Question

已知函數(shù)f（x）是定義域R的奇函數(shù)，給出下列6個(gè)函數(shù)：
（1）g（x）=3•x

1

3

；            
（2）g（x）=x+1；         
（3）g(x)=sin(

5π

2

+x)；
（4）g(x)=ln(

x2+1

+x)；   
（5）g（x）=

sinx(1+sinx)

1-sinx

；
（6）g(x)=

2

ex+1

-1．
其中可以使函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)的函數(shù)序號(hào)是

（1）（4）（6）

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）是定義域R的奇函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)可知函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行一一判定即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義域R的奇函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)
∴函數(shù)g（x）是定義域R的奇函數(shù)
（1）定義域?yàn)镽，g（-x）=3(-x)

1

3

=-3•x

1

3

=-g（x），是奇函數(shù)
（2）定義域?yàn)镽，g（-x）=-x+1≠-x-1=-g（x），不是奇函數(shù)
（3）定義域?yàn)镽，g(x)=sin(

5π

2

+x)=cosx，g（-x）=cos（-x）=cosx=g（x），是偶函數(shù)
（4）定義域?yàn)镽，g(-x)=ln(

x2+1

-x)=-ln(

x2+1

+x) =-g(x)，是奇函數(shù)
（5）g（x）=

sinx(1+sinx)

1-sinx

的定義域?yàn)閧x|x≠

π

2

+2kπ(k∈Z)}不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故非奇非偶函數(shù)
（6）定義域?yàn)镽，g(x)=

2

ex+1

-1=

1-ex

ex+1

，g(-x)=

1-e-x

e-x+1

=-g(x)，是奇函數(shù)．
故答案為：（1）（4）（6）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，一般步驟先判定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后判定f（-x）與f（x）的關(guān)系，屬于中檔題．