Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)φ（x）=e^2x-be^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（3）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為C（x，0），求證：V′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，然后利用h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，則得到h'（x）≥0恒成立．
（2）換元，設(shè)t=e^x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值．
（3）求函數(shù)V（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性證明V′（x）≠0．
解答：解：（1）當(dāng)=-2時(shí)，h（x）=f（x）-g（x），所以h（x）=lnx+x²-bx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
因?yàn)楹瘮?shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以h'（x）≥0恒成立，即恒成立，
所以，當(dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以b的取值范圍．
（2）設(shè)t=e^x，則函數(shù)φ（x）=e^2x-be^x等價(jià)為ω（t）=t²+bt，t∈[1，2]，
則，且，
所以①當(dāng)時(shí)，函數(shù)ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]，上為增函數(shù)，所以當(dāng)t=1時(shí)，ω（t）的最小值為b+1．
②當(dāng)，即-4＜b＜-2時(shí)，當(dāng)t=時(shí)，ω（t）的最小值為-．
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]上為減函數(shù)，所以當(dāng)t=2時(shí)，ω（t）的最小值為4+2b．
綜上：當(dāng)時(shí)，φ（x）的最小值為b+1．
當(dāng)-4＜b＜-2時(shí)，φ（x）的最小值為-．
當(dāng)b≤-4時(shí)，φ（x）的最小值為4+2b．
（3）因?yàn)閂（x）=2f（x）-x²-kx=，
假設(shè)V′（x）=0，成立，且0＜x₁＜x₂，則由題意知，
，
①-②得，
所以，由（4）得，所以，
即，即  ⑤
令，則，所以，
所以u(píng)（t）在（0，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以u(píng)（t）＜u（1）=0，
即，即，
這與⑤式相矛盾，所以假設(shè)不成立，故V′（x）≠0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及最值問(wèn)題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．