Question

已知拋物線C：x²=2py(p＞0)的焦點為F，A，B是拋物線C上異于坐標原點0的不同兩點，拋物線C在點A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁⊥l₂，l₁與l₂相交于點D。
(Ⅰ)求點D的縱坐標；
(Ⅱ)證明：A，B，F(xiàn)三點共線；
(Ⅲ)假設點D的坐標為（，-1），問是否存在經(jīng)過A，B兩點且與l₁，l₂都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，清說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)解：設點A，B的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
l₁，l₂分別是拋物線C在點A，B處的切線，
∴直線l₁的斜率為，直線l₂的斜率為，
∵，
∴，得，   ①
∵A，B是拋物線C上的點，
∴，
∴直線l₁的方程為，直線l₂的方程為，
由，解得：，
∴點D的縱坐標為。
 (Ⅱ)證法一：∵F為拋物線C的焦點，
∴，
∴直線AF的斜率為，
直線BF的斜率為，
∵

，
∴，∴A，B，F(xiàn)三點共線。
證法二：∵F為拋物線C的焦點，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴A，B，F(xiàn)三點共線。
(Ⅲ)解：不存在，
證明如下：假設存在符合題意的圓，
設該圓的圓心為M，依題意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD，
∴四邊形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|，
∵點D的坐標為（，-1），∴，即p=2，
把點代入直線l₁，得，
解得：或，
∴點A的坐標為（4，4）或，
同理可求得點B的坐標為（4，4）或，
由于A，B是拋物線C上的不同兩點，
不妨令，
∴，
，
∴|AD|≠|(zhì)BD|，這與|AD|= |BD|矛盾，
∴經(jīng)過A，B兩點且與l₁，l₂都相切的圓不存在。