Question

已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且 f（

1

2

）=0，求不等式f（log_ax）＞0 的解集．

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，且滿足f（-

1

2

）=0．故由不等式f（log_ax）＞0可得log_ax＜-

1

2

，或log_ax＞

1

2

．再分當a＞1時、當0＜a＜1時兩種情況，利用對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性求得不等式的解集．

解答：解：由題意可得，函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，且滿足f（-

1

2

）=0．
故由不等式f（log_ax）＞0可得 log_ax＜-

1

2

，或log_ax＞

1

2

．
當a＞1時，可得 0＜x＜a-

1

2

=

1

a

，或 x＞

a

．
故不等式的解集為（0，

a

a

）∪（

a

，+∞）．
當0＜a＜1時，x＞a-

1

2

=

a

a

，或0＜x＜

a

，
故故不等式的解集為（0，

a

）∪（

a

a

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．