Question

等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列的一個充要條件是（ ）
A．前三項遞增
B．所有奇數(shù)項遞增
C．前n項和S_n為遞增數(shù)列
D．首項為正數(shù)，且公比大于1

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設數(shù)列前三項，“a₁，a₂，a₃”，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則一定有a₁＜a₂＜a₃，可以根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列前n項和公式和根據(jù)充分必要條件的定義進行一一判斷，從而求解；
解答：解：A、∵{a_n}是等比數(shù)列，
則由“a₁＜a₂＜a₃”可得數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，故充分性成立．
若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則一定有a₁＜a₂＜a₃，故必要性成立．
綜上，“a₁＜a₂＜a₃”是“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”的充分必要條件，
故A正確；
B、若“a₁＜a₃＜a₅”
則q²＞1，q＞1或q＜-1，若q＞1此時“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”成立，若q＜-1時，數(shù)列{a_n}不是遞增數(shù)列，故B錯誤；
C、數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{S_n}不一定是遞增數(shù)列，如當a_n＜0 時，數(shù)列{S_n}是遞減數(shù)列；
由數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，不能推出數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，如數(shù)列：0，1，2，3，…，
滿足{S_n}是遞增數(shù)列，但不滿足等比數(shù)列{a_n}，故C錯誤；
D、若等比數(shù)列首項為正數(shù)，且公比大于1，可以推出等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列；
若等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，可以取a₁＜0，0＜q＜1，∴a_n＜0，==q＜1，∴a_n＜a_n+1，則滿足{a_n}是遞增數(shù)列，
不需要首項為正數(shù)，公比q大于1，故D錯誤；
故選A；
點評：本題考查充分條件、必要條件的定義，遞增數(shù)列的定義，判斷充分性是解題的難點，此題是一道綜合題，屬于基礎題．