Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），F為焦點，設拋物線C上一點到焦點的距離為1，l為準線，l與y軸的交點為H．
（I）求拋物線C方程；
（Ⅱ）設M是拋物線C上一點，E（0，4），延長ME，MF分別交拋物線C于點A，B兩點．若A，B，H三點共線，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）由拋物線的定義，結合P到焦點的距離為1建立關于p的方程，解出p=即得拋物線C方程；
（II）設M（λ，λ²），由拋物線的性質解出B（-，）．求出H（0，-），從而算出HB的方程，與拋物線聯解得出A（-λ，λ²），再由M、E、A三點共線求出λ的值，即可得到點M的坐標．
解答：解：（I）∵拋物線C的焦點為（0，）
∴到焦點的距離為1，即+=1，解之得p=
因此拋物線方程為x²=y；
（II）設M（λ，λ²），B（μ，μ²）
根據拋物線的性質，可得λμ=-p²=，得μ=-
∴B（-，），
結合點H（0，-），得到直線HB的方程為y=-x-
聯解直線HB與拋物線x²=y方程，可得A（-λ，λ²）
∵M（λ，λ²）、E（0，4）、A（-λ，λ²）三點共線，
∴λ²=4，解之得λ=±2，
由此可得M（-2，4）或（2，4）．
點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線的方程和點M的坐標．著重考查了拋物線的定義與標準方程、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．