已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求證：對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；

(3)若過點A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，(1)＝(－1)＝0，

　　即

　　解得a＝1，b＝0．

　　∴f(x)＝x3－3x．

　　(2)∵f(x)＝x3－3x，∴(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

　　當－1＜x＜1時，(x)＜0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，

　　fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2

　　∵對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，

　　都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|

　　|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|＝2－(－2)＝4

　　(3)(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

　　∵曲線方程為y＝x3－3x，∴點A(1，m)不在曲線上．

　　設(shè)切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足

　　因，故切線的斜率為

　　，

　　整理得．

　　∵過點A(1，m)可作曲線的三條切線，

　　∴關(guān)于x0方程＝0有三個實根．

　　設(shè)g(x－0)＝，則(x0)＝6，

　　由(x0)＝0，得x0＝0或x0＝1．

　　∴g(x0)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減．

　　∴函數(shù)g(x0)＝的極值點為x0＝0，x0＝1

　　∴關(guān)于x0方程＝0有三個實根的充要條件是

　　，解得－3＜m＜－2．

　　故所求的實數(shù)a的取值范圍是－3＜m＜－2．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省南昌市高一5月聯(lián)考數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ (a、b為常數(shù))，且方程f(x)－x＋12＝0有兩個實根為x1＝3，x2＝4.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式f(x)< .

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆遼寧盤錦市高一第一次階段考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(12分)已知函數(shù)f(x)＝ (a，b為常數(shù)，且a≠0)，滿足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一實數(shù)解，求函數(shù)f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省萊蕪市高三上學期10月測試理科數(shù)學 題型：解答題

(本小題滿分l2分)

已知函數(shù)f(x)＝a－

 

(1)求證：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

 

(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學文卷 題型：解答題

( (本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)＝(a－1)x＋aln(x－2)，(a<1).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a<0時，對任意x1、x2∈(2，＋∞)，<－4恒成立，求a的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學 題型：解答題

（12分）已知函數(shù)f(X)＝㏒a(ax－1) (a＞0且a≠1)

     （1）求函數(shù)的定義域   （2）討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案