【題目】已知函數(shù),
.
(1)當時,求曲線
在
處的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)
的最小值;
(3)已知,且任意
有
,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1);(2)分類討論,詳見解析;(3)
.
【解析】
(1)當x>1時,f(x)=x3+3x﹣3,f(2)=11.由f'(x)=3x2+3,得f'(2)=15.由此利用導數(shù)的幾何意義能求出y=f(x)在x=2處的切線方程;
(2)當a≤﹣1時,得f(x)=x3+3x﹣3a,由f'(x)=3x2+3>0,得到f(x)min=f(﹣1)=﹣4﹣3a.當a≥1時,得f(x)=x3﹣3x+3a,由f'(x)=3x2﹣3≤0,得到f(x)min=f(1)=﹣2+3a.當﹣1<a<1時,f(x),由此能求出函數(shù)f(x)的最小值;
(3)當a>0,且任意x≥1有f(x+a)﹣f(1+a)≥15a2lnx,即對任意x≥1有(x+a)3+3x﹣15a2lnx﹣(a+1)3﹣3≥0.設g(x)=(x+a)3+3x﹣15a2lnx﹣(a+1)3﹣3,則g(1)=0,g'(x)=3(x+a)2+3.設h(x)=g'(x)=3(x+a)2+3
,則h'(x)=6(x+a)
0,由此利用導數(shù)性質能求出結果.
解:(1)當時,
,
.由
,得
.
所以在
處的切線方程為
即
.
(2)①當時,得
,因為
,
所以在
單調遞增,所以
.
②當時,得
,因為
,
所以在
單調遞減,所以
.
③當時,
由①②知:函數(shù)在
單調遞減,
單調遞增,所以
,
綜上,當,
;
當時,
;
當時,
.
(3)當,且任意
有
,
即對任意有
.
設,
則,
.
設,
因為,
,所以
,所以
在
單調遞增,
所以,即
,
①當即
時,所以
恒成立,
所以在
單調遞增,此時
,滿足題意.
②當即
時,
因為,且
在
單調遞增,
所以存在唯一的,使得
,
因此當時
;當
時
;
所以在
單調遞減,
單調遞增.
所以,不滿足題意.
綜上,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.
(1)求證:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)當時,如果方程
有兩個不等實根
,求實數(shù)t的取值范圍,并證明
.
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【題目】已知橢圓:
(
)過點
與
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過橢圓的右焦點
,且傾斜角為
的直線
和橢圓
交于
、
兩點,對于橢圓
上任一點
,若
,求
的最大值.
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【題目】如圖,直角坐標系中,圓的方程為,
,
,
為圓上三個定點,某同學從
點開始,用擲骰子的方法移動棋子.規(guī)定:①每擲一次骰子,把一枚棋子從一個定點沿圓弧移動到相鄰下一個定點;②棋子移動的方向由擲骰子決定,若擲出骰子的點數(shù)為偶數(shù),則按圖中箭頭方向移動;若擲出骰子的點數(shù)為奇數(shù),則按圖中箭頭相反的方向移動.設擲骰子
次時,棋子移動到
,
,
處的概率分別為
,
,
.例如:擲骰子一次時,棋子移動到
,
,
處的概率分別為
,
,
.
(1)分別擲骰子二次,三次時,求棋子分別移動到,
,
處的概率;
(2)擲骰子次時,若以
軸非負半軸為始邊,以射線
,
,
為終邊的角的余弦值記為隨機變量
,求
的分布列和數(shù)學期望;
(3)記,
,
,其中
.證明:數(shù)列
是等比數(shù)列,并求
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過拋物線C:x2=4y的準線上任意一點P作拋物線的切線PA,PB,切點分別為A,B,則A點到準線的距離與B點到準線的距離之和的最小值是( )
A.7B.6C.5D.4
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【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在
軸上,左頂點為
,左焦點為
,點
在橢圓
上,直線
與橢圓
交于
,
兩點,直線
,
分別與
軸交于點
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經過定點?若經過,求出定點的坐標;若不經過,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際,學校組織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學參加該環(huán)節(jié)的比賽.
(1)求甲同學至少抽到2道B類題的概率;
(2)若甲同學答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是
,且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學答對題目的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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