【題目】已知函數(shù)

1)當時,求曲線處的切線方程;

2)當時,求函數(shù)的最小值;

3)已知,且任意,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1);(2)分類討論,詳見解析;(3).

【解析】

1)當x1時,fx)=x3+3x3,f2)=11.由f'x)=3x2+3,得f'2)=15.由此利用導數(shù)的幾何意義能求出yfx)在x2處的切線方程;

2)當a≤﹣1時,得fx)=x3+3x3a,由f'x)=3x2+30,得到fxminf(﹣1)=﹣43a.當a1時,得fx)=x33x+3a,由f'x)=3x230,得到fxminf1)=﹣2+3a.當﹣1a1時,fx,由此能求出函數(shù)fx)的最小值;

3)當a0,且任意x1fx+a)﹣f1+a)≥15a2lnx,即對任意x1有(x+a3+3x15a2lnx﹣(a+1330.設gx)=(x+a3+3x15a2lnx﹣(a+133,則g1)=0,g'x)=3x+a2+3.設hx)=g'x)=3x+a2+3,則h'x)=6x+a0,由此利用導數(shù)性質能求出結果.

解:(1)當時,,.由,得

所以處的切線方程為

2)①當時,得,因為,

所以單調遞增,所以

②當時,得,因為,

所以單調遞減,所以

③當時,

由①②知:函數(shù)單調遞減,單調遞增,所以

綜上,當,;

時,

時,

3)當,且任意,

即對任意

,

,

,

因為,,所以,所以單調遞增,

所以,即,

①當時,所以恒成立,

所以單調遞增,此時,滿足題意.

②當時,

因為,且單調遞增,

所以存在唯一的,使得,

因此當;當

所以單調遞減,單調遞增.

所以,不滿足題意.

綜上,

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