Question

如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度L；
（3）當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點(diǎn)，易得EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)，由污水凈化管道的長(zhǎng)度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù)．
（2）若sinθ+cosθ=

2

，結(jié)合（1）中所得的函數(shù)解析式，代入易得管道的長(zhǎng)度L的值．
（3）污水凈化效果最好，即為管道的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，由（1）中所得的函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，易得結(jié)論．

解答：解：（1）EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，
EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)．
由于BE=10tanθ≤10

3

，AF=

10

tanθ

≤10

3

，
所以

3

3

≤tanθ≤

3

，
所以θ∈[

π

6

，

π

3

]．
所以L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
（2）當(dāng)sinθ+cosθ=

2

時(shí)，
sinθcosθ=

1

2

，
L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=20(

2

+1)（米）．
（3）L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，
設(shè)sinθ+cosθ=t，
則sinθcosθ=

t2-1

2

，
所以L=

20

t-1

．
由于θ∈[

π

6

，

π

3

]，
所以t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[

1+ 3

2

，

2

]．
由于L=

20

t-1

在[

1+ 3

2

，

2

]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=

3 +1

2

即θ=

π

6

或θ=

π

3

時(shí)，
L取得最大值20(

3

+1)米．
答：當(dāng)θ=

π

6

或θ=

π

3

時(shí)，污水凈化效果最好，此時(shí)管道的長(zhǎng)度為20(

3

+1)米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型及解三角形，根據(jù)已知條件構(gòu)造出L關(guān)于θ的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．