Question

（2009•浦東新區(qū)一模）如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設管道的成本越低．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=

3 +1

2

，求此時管道的長度L；
（3）問：當θ取何值時，鋪設管道的成本最低？并求出此時管道的長度．

Answer 1

分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點，易得EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)，由污水凈化管道的長度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)．
（2）若sinθ+cosθ=

3 +1

2

，結合（1）中所得的函數(shù)解析式，代入易得管道的長度L的值．
（3）污水凈化效果最好，即為管道的長度最長，由（1）中所得的函數(shù)解析式，結合三角函數(shù)的性質，易得結論．

解答：解：（1）EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

…（2分）EF=

10

sinθcosθ

…（4分）
由于BE=10•tanθ≤10

3

，AF=

10

tanθ

≤10

3

3

3

≤tanθ≤

3

，θ∈[

π

6

，

π

3

]…（5分）L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθ•cosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]…（6分）
（2）sinθ+cosθ=

3 +1

2

時，sinθcosθ=

3

4

，…（8分）L=20(

3

+1)；…（10分）
（3）L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθ•cosθ

=10(

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

)
設sinθ+cosθ=t則sinθ•cosθ=

t2-1

2

…（12分）
由于θ∈[

π

6

，

π

3

]，所以t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[

3 +1

2

，

2

]…（14分）L=

20

t-1

在[

3 +1

2

，

2

]內單調遞減，于是當t=

2

時θ=

π

4

．L的最小值20(

2

+1)米．…（15分）
答：當θ=

π

4

時，所鋪設管道的成本最低，此時管道的長度為20(

2

+1)米…（16分）

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數(shù)模型及解三角形，根據(jù)已知條件構造出L關于θ的函數(shù)，是解答本題的關鍵．