【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).

(1)證明:CD⊥平面PAE;
(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P﹣ABCD的體積.

【答案】
(1)

解法一:連接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,

又AD=5,E是CD得中點(diǎn),

所以CD⊥AE,

PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD.

所以PA⊥CD,

而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,

所以CD⊥平面PAE.

解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為X軸,Y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).

=(﹣4,2,0), =(2,4,0), =(0,0,h).

因?yàn)? =﹣8+8+0=0, =0.

所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,

所以CD⊥平面PAE.


(2)

法一:過點(diǎn)B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F,G,連接PF,

由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BG⊥AE.

由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角.

由題意∠PBA=∠BPF,因?yàn)閟in∠PBA= ,sin∠BPF= ,所以PA=BF.

由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD.

所以四邊形BCDG是平行四邊形,

故GD=BC=3,于是AG=2.

在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,

所以BG= =2 ,BF= = =

于是PA=BF=

又梯形ABCD的面積為S= ×(5+3)×4=16.

所以四棱錐P﹣ABCD的體積為V= ×S×PA= ×16× =

法二:由題設(shè)和第一問知, , 分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,

而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,

所以:|cos< >|=|cos< , >|,即| |=| |.

由第一問知 =(﹣4,2,0), =((0,0,﹣h),又 =(4,0,﹣h).

故| |=| |.

解得h=

又梯形ABCD的面積為S= ×(5+3)×4=16.

所以四棱錐P﹣ABCD的體積為V= ×S×PA= ×16× =


【解析】法一:(1)先根據(jù)條件得到CD⊥AE;再結(jié)合PA⊥平面ABCD即可得到結(jié)論的證明;(2)先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA=BF,進(jìn)而得到四邊形BCDG是平行四邊形,在下底面內(nèi)求出BF的長以及下底面的面積,最后代入體積計(jì)算公式即可.
法二:(1)先建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到 =0以及 =0.即可證明結(jié)論;(2)先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA的長,再求出下底面面積,最后代入體積計(jì)算公式即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

練習(xí)冊系列答案
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【題目】樣本(x1 , x2…,xn)的平均數(shù)為x,樣本(y1 , y2 , …,ym)的平均數(shù)為 ).若樣本(x1 , x2…,xn , y1 , y2 , …,ym)的平均數(shù) +(1﹣α) ,其中0<α< ,則n,m的大小關(guān)系為( )
A.n<m
B.n>m
C.n=m
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(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間;
(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.

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【答案】

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,則

故答案為:

【點(diǎn)睛】

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型】填空
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15

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(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】(1);.

(2).

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試題解析】

(Ⅰ)圓的參數(shù)方程為為參數(shù)).

直線的直角坐標(biāo)方程為.

(Ⅱ)由直線的方程可得點(diǎn),點(diǎn).

設(shè)點(diǎn),則 .

.

由(Ⅰ)知,則 .

因?yàn)?/span>,所以.

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23

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