Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離是該點(diǎn)到直線(xiàn)AB，AC距離的等比中項(xiàng)。（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍。

Answer 1

直線(xiàn)L的斜率k的取值范圍是有限集

Ⅰ）直線(xiàn)AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為
圓S：         ......5分
（Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分
圓S：    ①   與雙曲線(xiàn)T：    ②
因?yàn)锽（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線(xiàn)S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。
的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為      ③
（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線(xiàn)平行于x軸，表明L與雙曲線(xiàn)有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L(fǎng)恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分
（ii）當(dāng)時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：
情況1：直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線(xiàn)L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線(xiàn)BD與曲線(xiàn)T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線(xiàn)CD與曲線(xiàn)T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。  ......15分
情況2：直線(xiàn)L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L(fǎng)與雙曲線(xiàn)T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是  ④
或    ⑤    .解方程④得，解方程⑤得。
綜合得直線(xiàn)L的斜率k的取值范圍是有限集。