Question

求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)在y軸上，焦距為8，漸近線斜率為±

1

3

；
（2）經(jīng)過點(diǎn)（3，-2），且一條漸近線的傾斜角為

π

6

；
（3）焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)P（4

2

，-3），且Q（0，5）與兩焦點(diǎn)連線互相垂直；
（4）離心率e=

2

，經(jīng)過點(diǎn)P（-5，3）；
（5）以橢圓

x2

20

+

y2

16

=1的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過橢圓焦點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，根據(jù)題意可得c=4，

a

b

=

1

3

，求出即可得出方程，
（2）根據(jù)題意可判斷焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，求出a，b即可．
（3）根據(jù)題意

32

a2

-

9

b2

=1，c=5，a²+b²=c²，a⁴-66a²+32×25=0，a²=50，即可得出方程．
（4）可得焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，

x2

a2

-

y2

a2

=1，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可．
（5）求出橢圓

x2

20

+

y2

16

=1的長軸的端點(diǎn)（-2

5

，0）（2

5

，0），焦點(diǎn)為（-2，0）（2，0），即可得出雙曲線的方程．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
∵焦距為8，漸近線斜率為±

1

3

；
∴c=4，

a

b

=

1

3

，
10a²=16，a²=

8

5

，
b²=

72

5

，
∴標(biāo)準(zhǔn)方程為：

5y2

8

-

5x2

72

=1，
（2）∵經(jīng)過點(diǎn)（3，-2），且一條漸近線的傾斜角為

π

6

；
∴可判斷焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
∴

4

a2

-

9

b2

=1，

a

b

=

3

3

，
a=1，b=

3

，
∴標(biāo)準(zhǔn)方程：y²-

x2

3

=1，
（3）∵焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)P（4

2

，-3），且Q（0，5）與兩焦點(diǎn)連線互相垂直；
∴

32

a2

-

9

b2

=1，c=5，a²+b²=c²，
∴a⁴-66a²+32×25=0，a²=50（舍去），a²=16，b²=9，
∴方程為：

x2

16

-

y2

9

=1，
（4）∵離心率e=

2

，經(jīng)過點(diǎn)P（-5，3）；
∴焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，

x2

a2

-

y2

a2

=1
∴

16

a2

=1，a²=16，
x²-y²=16，
（5）設(shè)

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵橢圓

x2

20

+

y2

16

=1的長軸的端點(diǎn)（-2

5

，0）（2

5

，0），焦點(diǎn)為（-2，0）（2，0）
∴c=2

5

，a=2，b=4，
∴

x2

4

-

y2

16

=1，

點(diǎn)評：本題考察了待定系數(shù)法求解雙曲線的方程，充分利用了雙曲線的幾何意義．屬于中檔題．