【題目】如圖，在直三棱柱中， 分別是棱的中點，點在棱上，且， ， .

（1）求證： 平面；

（2）當時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由線面平行的判定定理證明；（2）利用空間直角坐標系解題。

試題解析：

解：（1）(法一)連接交于點，連接

由分別是棱中點，故點為的重心

在中，有

，又平面

平面

（法二）取的中點，連接

由是棱的中點， 為的中點，

為的中位線，即平面

又為棱的中點， 為的中點

由，由，且為直三棱柱

，進而得

，即平面

又 平面平面

又平面 平面

（2）由為直三棱柱

平面，取的中點，連接

是棱的中點， ，即平面

為等邊三角形

為的中點 且

故以為坐標原點，以射線分別為軸， 軸， 軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系

則

， ，

設(shè)平面的法向量為

則： ，不妨取，則

設(shè)平面的法向量為

則： ，不妨取，則

記二面角為

故二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
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（1）求的值；

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（2）經(jīng)過點且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于、兩點，求的值.

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