Question

已知f（x）=

1

3

x³-2ax²-3x（a∈R）．
（I）當(dāng)|a|≤

1

2

時(shí)，求證f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)；
（Ⅱ）若y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）首先對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，得到結(jié)果．
（II）設(shè)出極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)在所給的區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論，得到結(jié)果．

解答：解：（I）∵f（x）=

1

3

x³-2ax²-3x
∴f^′（x）=x²-4ax-3
∵|a|≤

1

2

，
∴f^′（-1）≤0，f^′（1）≤0
∵f^′（x）的圖象開(kāi)口向上，
∴在（-1，1）內(nèi)．f（x）是一個(gè)減函數(shù)．
（II）設(shè)極值點(diǎn)x₀，
∴f（x）在（-1，x₀）上是增函數(shù)，在（x₀，1）上是減函數(shù)，
∴a＞

1

2

時(shí)，f（x）在（-1，1）上有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，
a＜-

1

2

時(shí)，f（x）在（-1，1）上有一個(gè)極小值點(diǎn)，
-

1

2

≤a≤

1

2

，f（x）在（-1，1）上沒(méi)有極值點(diǎn)，
總上可知的取值范圍是（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)于字母系數(shù)a的討論，注意討論的過(guò)程中做到不重不漏．