Question

15、在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，則下列四個(gè)命題：
①P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁PC體積不變；
②P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與平面ACD₁所成角不變；
③P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M在平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁的距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是直線A₁D₁，
其中真命題的序號(hào)是

①③④

．

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離相等，底不變，所以體積不變．
②通過舉例說明，如直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等．
③P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響．
④M在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，而點(diǎn)D和C₁距不在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，且距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線．而DD₁=D₁C₁，所以必過D₁點(diǎn)．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離相等，所以體積不變，正確．
②P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，所以不正確．
③當(dāng)P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響，所以正確．
④∵M(jìn)是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，∴M點(diǎn)的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線，而DD₁=D₁C₁，所以正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積，直線與平面所成的角，二面角的平面角及求法，其中熟練掌握正方體的幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．