Question

【題目】已知各項為正的數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=2，a5=32，數(shù)列{bn}滿足：對于任意n∈N* ， 有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n ， 求 的值；
（3）求數(shù)列{bn}通項公式，若在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項ak與ak+1之間插入bk（k∈N*）后，得到一個新的數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前100項之和T100 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，a5=32，

∴q= =2，

∴an=2n

（2）解：f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n= = ，f（n+1）= ．

∴ = = =4

（3）解：∵a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2，

∴當n≥2時，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）2n+2，

兩式相減得：anbn=（n﹣1）2n+1+2﹣（n﹣2）2n+2=n2n，即bn= =n（n≥2），

又∵a1b1=2，即b1=1滿足上式，

∴bn=n；

設Sn表示數(shù)列{cn}的前n項之和，

S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50）

=2+22+…+250+1+2+…+50

= +

=251+1273

【解析】（1利用q= ，即可得出．（2）利用等比數(shù)列的求和公式可得f（n）= ，f（n+1）= ．再利用極限的運算法則即可得出．（3）由a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2，當n≥2時，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）2n+2，兩式相減得：可得bn= =n（n≥2），b1=1滿足上式，可得bn=n．設Sn表示數(shù)列{cn}的前n項之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50），即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．