Question

已知a＞0，且a≠1，．
（1）求f（x）的表達式，并判斷其單調性；
（2 ）當f（x）的定義域為（-1，1）時，解關于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0；
（3）若y=f（x）-4在（-∞，2）上恒為負值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質結合換元法令t=log_ax，從而推出x=a^t，導出f（t）后，直接把f（t）中的變量t都換成x就得到f（x），利用單調函數(shù)的定義和性質可判斷單調性．
（2）結合f（x）的奇偶性與單調性進行求解：由y=f（x）（x∈R）的奇偶性、單調性，由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)求解m的取值范圍．
（3）由當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，即f（x）-4＜0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調性可得f（2）-4≤0，整理即可解得a的取值范圍．
解答：解：（1）：（1）令t=log_ax（t∈R），
則x=a^t，f（t）=（at-a-t）．
∴f（x）=（ax-a-x）（x∈R）．
①當a＞1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=（）x=a-x是減函數(shù)，y=-a^-x是增函數(shù)．
∴y=a^x-a^-x為增函數(shù)，
又因為＞0，
∴f（x）=（ax-a-x）（x∈R）是增函數(shù)．
②當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x是減函數(shù)，
y=（）x=a-x是增函數(shù)，y=-a^-x是減函數(shù)．
∴u（x）=a^x-a^-x為減函數(shù)．
又因為＜0，
∴f（x）=（ax-a-x）（x∈R）是增函數(shù)．
綜上可知，在a＞1或0＜a＜1時，y=f（x），（x∈R）都是增函數(shù)．
（2）易判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜f（m²-1），
又f（x）為增函數(shù)，所以有，解得，
故不等式的解集{m|1＜m＜}；
（3）當x∈（0，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，即f（x）-4＜0恒成立，
因為f（x）為R上的單調增函數(shù)，則f（2）-4=（a2-a-2）-4≤0，
整理得a²-4a+1≤0，所以2-≤a≤2，
又a＞0且a≠1，所以實數(shù)a的取值范圍是[2-，1）∪（1，2]．
點評：本題是函數(shù)奇偶性與單調性的綜合應用，特別是后面抽象不等式及恒成立問題，難度較大．