Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使方程f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點，已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（2）當(dāng)a=1，b=-2時，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．
（3）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先利用信息要求解出結(jié)果．
（2）二次函數(shù)的軸固定區(qū)間不固定的討論．
（3）恒成立問題的應(yīng)用．

解答： 解：（1）由題意得：f（x）=x²-x-3 由于x₀是不動點
因此得：f(x0)=x02-x0-3=x0
即：x02-2x0-3=0
解得：x₀=-1或3
即3和-1是f（x）的不動點．
（2）①當(dāng)t≤-

1

2

時，g（t）=t²+t-3
②當(dāng)-

1

2

＜t＜

1

2

時，g（t）=-

13

4

③當(dāng)t≥

1

2

時，g（t）=t²-t-3
（3）因為f（x）恒有兩個不動點
f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x
即：ax²+bx+b-1=0恒有兩個不等實根
即對于任意的實數(shù)都有△=b²-4a（b-1）＞0恒成立
進一步得：對任意的實數(shù)b，b²-4ab+4a＞0恒成立．
△1=(4a)2-4(4a)＜0
得到：a²-a＜0
0＜a＜1
故答案為：（1）3和-1是f（x）的不動點
（2））①當(dāng)t≤-

1

2

時，g（t）=t²+t-3
②當(dāng)-

1

2

＜t＜

1

2

時，g（t）=-

13

4

③當(dāng)t≥

1

2

時，g（t）=t²-t-3
（3）0＜a＜1

點評：本題考查的知識點：信息抽象函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的軸固定區(qū)間不固定的討論，恒成立問題的應(yīng)用及一元二次不等式和一元二次方程的解法．