Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥f（-x）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=e^x-a，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）化簡(jiǎn)f（x）-f（-x）=e^x+e^-x-2x；由導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，從而證明當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥f（-x）．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1，
f′（x）=e^x-a；
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）=e^x-ax-1在R上是增函數(shù)，
②當(dāng)0＜a時(shí)，
當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）=e^x-ax-1在（-∞，lna）上是減函數(shù)，
在（lna，+∞）上是增函數(shù)；
（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知，
f（x）=e^x-x-1在（-∞，0）上是減函數(shù)，
在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∵f（x）-f（-x）=e^x+e^-x-2x；
∴f′（x）-f′（-x）=e^x-e^-x-2，
∵x≥0，
∴f′（x）-f′（-x）≥0，
故f（x）-f（-x）≥f（0）-f（0）=0；
故f（x）≥f（-x）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．