【題目】已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，

直線與交于點M.

(1)求橢圓的方程；

(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；

(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．

【答案】(1)(2) (ⅰ)見證明；(ⅱ)見證明

【解析】

(1)由題意可得，可以求出，，從而求出橢圓的方程；(2)(ⅰ)由點斜式分別寫出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達定理可得，的坐標關系，進而可以得到點M在一條定直線x＝2上；(ⅱ)由于，結(jié)合點P在橢圓上，可以求出為定值。

(1)設橢圓的焦距是2c，

據(jù)題意有：，，，則，

所以橢圓的方程是.

(2) (ⅰ)由(1)知，，，

設直線PQ的方程是，

代入橢圓方程得：，

易知，

設，，，

則

，

直線的方程是： ①，

直線的方程是： ②，

設，既滿足①也滿足②，

則

，

故直線與交點M在一條定直線l：x＝2上.

(ⅱ)設，，，則，

∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著網(wǎng)絡的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加，下表是某購物網(wǎng)站2018年1-8月促銷費用（萬元）和產(chǎn)品銷量（萬件）的具體數(shù)據(jù)：

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

促銷費用

2

3

6

10

13

21

15

18

產(chǎn)品銷量

1

1

2

3

3.5

5

4

4.5

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型與的關系，請用相關系數(shù)加以說明（系數(shù)精確到0.001）；

（2）建立關于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.001）；如果該公司計劃在9月份實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預測至少需要投入費用多少萬元（結(jié)果精確到0.01）．

參考數(shù)據(jù)：，，，，，其中，分別為第個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量，．

參考公式：（1）樣本相關系數(shù)；

（2）對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，的圖象恒在的圖象上方，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知邊長為4的正三角形ABC的邊AB、AC上分別有兩點D、E，DE//BC且DE=3，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B，在空間中取一點F使得ADBF為平行四邊形，連接AC、FC得六面體ABCEDF，G是BC邊上動點.

（1）若EG//平面ACF，求CG的長；

（2）若G為BC中點，求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0，設是函數(shù)圖象上的任意兩點，記直線AB的斜率為k，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時容器中水的深度為___________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知各項為正數(shù)的數(shù)列滿足：且．

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．

（2）若，證明：對一切正整數(shù)n，都有

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在圓上取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當點在圓上運動時，設線段中點的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）試問在上是否存在兩點關于直線對稱，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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