Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，PD=8，AC=6，BD=8，AC∩BD=O，E是棱PB上的一點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）若BE：EP=1：2，求三棱錐O-BCE的體積；
（3）是否存在點(diǎn)E，使△ACE的面積最��？若存在，試求出△ACE面積最小值及對(duì)應(yīng)線段BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）菱形的對(duì)角線AC、BD互相垂直，用線面垂直的定義得到AC、PD互相垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理，得到AC與平面PBD垂直，最終得到AC與DE互相垂直．
（2）根據(jù)點(diǎn)E是線段PB靠近B點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，得到E到平面ABCD的距離等于PD長(zhǎng)的，再用菱形的性質(zhì)得到S_△OBC=S_菱形ABCD=6，最后用棱錐的體積公式得出三棱錐O-BCE的體積．
（3）連接OE，可以根據(jù)AC與平面PBD垂直，得到OE就是三角形AEC的邊AC上的高，OE最短時(shí)△ACE的面積也達(dá)到最小值，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O到線段PB的最小距離問(wèn)題．由此得到當(dāng)OE⊥PB時(shí)，△ACE的面積最小，再利用等腰直角三角形OEB求出此時(shí)的OE長(zhǎng)，問(wèn)題得到解決．
解答：解：（1）
∵四邊形ABCD為菱形
∴AC⊥BD結(jié)合PD與DB相交
∴AC⊥平面PDB
∵DE?平面PDB
∴AC⊥DE…4′
（2）即求三棱錐E-OBC的體積，
由BE：EP=1：2及PD=8，
得：E到平面ABCD的距離為
又四邊形ABCD為菱形，AC=6，BD=8，
∴S_△OBC=S_菱形ABCD=×6×8=6
∴…10′
（3）連接OE，由（1）得AC⊥平面PDB，而OE?平面PDB
∴OE⊥AC，OE是三角形ACE的邊AC上的高
∴S_△ACE=AC•OE=3OE，當(dāng)OE最短時(shí)，△ACE的面積最小，
因?yàn)辄c(diǎn)E在線段PB上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)OE⊥PB時(shí)，△ACE的面積最小，
此時(shí)Rt△OEB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，
∴OE==，
所以存在點(diǎn)E使△ACE的面積最小，且△ACE面積最小值為，此時(shí)BE的長(zhǎng)為…14′
點(diǎn)評(píng)：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)和棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．在題中出現(xiàn)了探究性問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們留意在解題過(guò)程中“空間問(wèn)題平面化的思路”，是立體幾何常用的數(shù)學(xué)思想．