Question

16．現(xiàn)需要對某旅游景點進一步改造升級，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足y=$\frac{51}{50}$x-ax²-ln$\frac{x}{10}$，且X∈（1，t]．且當(dāng)X=10時，y=9.2
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式
（Ⅱ）求旅游增加值y取得最大值時對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=10時，y=9.2，代入y=$\frac{51}{50}$x-ax²-ln$\frac{x}{10}$，求出a，得到函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，得f′（x），通過f′（x）=0求出極值點，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號，得到函數(shù)的單調(diào)性，然后推出最值點即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因當(dāng)x=10時，y=9.2，代入y=$\frac{51}{50}$x-ax²-ln$\frac{x}{10}$，
即$\frac{51}{50}×10-a×{10}^{2}-ln1=9.2$，解得a=$\frac{1}{100}$．
所以y=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-ln$\frac{x}{10}$，x∈（1，t]…．（4分）
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，得f（x）=$\frac{51}{50}-\frac{x}{50}-\frac{1}{x}$=-$\frac{{x}^{2}-51x+50}{50x}$=$-\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$，
令f′（x）=0得x=1（不合題意），或x=50
當(dāng)1＜x＜50時，f′（x）＞0，即f（x）遞增，當(dāng)x＞50時，f′（x）＜0，即f（x）遞減．
①當(dāng)t＞50時，
x∈（1，50）時，f′（x）＞0，即f（x）在（1，50）遞增，
x∈（50，t）f′（x）＜0，即f（x）在（50，t）遞減…（8分）
故當(dāng)x=50時，y取得最大值．
②當(dāng)t＜=50時，
x∈（1，t）時，f′（x）＞0，即f（x）在（1，t）遞增，
當(dāng)x=t時，y取得最大值．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及好的最值的求法，正確求出函數(shù)的解析式是基礎(chǔ)，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．