Question

已知直線x=0繞點(diǎn)（0，1）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后所得直線與圓（x-a）²+（y-b）²=2（a，b＞0）相切，則

1

a

+

4

b

的最小值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：先求出直線x=0繞點(diǎn)（0，1）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后所得直線方程，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立等式，求出a，b的等量關(guān)系，然后利用“1”的代換，以及基本不等式可求出所求，注意等號(hào)成立的條件．

解答： 解：∵直線x=0繞點(diǎn)（0，1）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

，
∴所得直線的斜率為-1，則直線方程為x+y-1=0，
∵所得直線與圓（x-a）²+（y-b）²=2（a，b＞0）相切，
∴

|a+b-1|

2

=

2

，即a+b=3，
又∵a，b＞0，
∴

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）×

a+b

3

=

1

3

+

4

3

+

b

3a

+

4a

3b

≥

5

3

+2

b 3a × 4a 3b

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

3a

=

4a

3b

，即a=1，b=2時(shí)取等號(hào)，
∴

1

a

+

4

b

的最小值為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．直線與圓相切時(shí)，利用圓心到切線的距離等于半徑進(jìn)行求解．屬于中檔題．