Question

已知圓C在x軸上的截距為-1和3，在y軸上的一個(gè)截距為1．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)(2 ，  

3

-1)的直線l被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)為4，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）由圓心公式求得圓心應(yīng)該在x=1這條直線上． 設(shè)：圓心為（1，y）進(jìn)而根據(jù)到（-1，0）的距離=到（0，1）的距離求得y，則圓心可知，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可得．
（2）先看直線斜率不存在時(shí)，求得弦長(zhǎng)為4符合題意，此時(shí)傾斜角為90°在看直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離，進(jìn)而求得斜率k，則直線的傾斜角可求．

解答：解：（1）由圓心公式：

1

2

（x₁+x₂）=

1

2

（-1+3）=1
圓心應(yīng)該在x=1這條直線上．
設(shè)：圓心為（1，y），到（-1，0）的距離=到（0，1）的距離：
∴（1+1）²+y²=1²+（y-1）²
解得y=-1
∴圓心為（1，-1）
∴r²=（1+1）²+y²=4+1=5
∴圓的方程為：
（x-1）²+（y+1）²=5
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)即直線與x軸垂直時(shí)，把x=2代入圓方程求得y=1或-3，
∴|AB|=1+3=4符合題意
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-

3

+1=k（x-2）
由直線l被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)為4，圓的半徑為

5

可求得圓心到直線的距離為

5-4

=1
∵圓心到直線的距離d=

|k+1-2k+ 3 -1|

k2+1

=1求得k=

3

3

∴傾斜角的正切為

3

3

，傾斜角為30°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與直線方程的應(yīng)用．考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式．