Question

已知函數(shù)
(I)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性：
(Ⅱ)若函數(shù)的圖像上存在不同兩點，，設(shè)線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”.
試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.

Answer 1

(I) 當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是
當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是
(Ⅱ) 函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”

解析試題分析：（1）
當(dāng)即時，，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；
當(dāng)即時,由得到或，
所以：當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；
當(dāng)即時，由得到：，
所以:當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；       
（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在（）使得
即，
即，（*）
當(dāng)時，（*）對任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條；
當(dāng)時，設(shè)，則方程在區(qū)間上有解，
記函數(shù)，則，
所以當(dāng)時，，即方程在區(qū)間上無解，
即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．