Question

（本小題滿分10分）

如圖，⊙O內切于△ABC的邊于D，E，F，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G。

（1）求證：圓心O在直線AD上；

（2）求證：點C是線段GD的中點。

 

Answer 1

【答案】

（1） 

又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分線

∴圓心O在直線AD上。（2））連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑， ∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°，又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G，又⊙O與AC相切于點F ，∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G，∴CG=CF=CD，∴點C是線段GD的中點。

【解析】

試題分析：（I）證明：

 

又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分線

∴圓心O在直線AD上�！�…………5分

（II）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，

∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°

又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G

又⊙O與AC相切于點F 

∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G

∴CG=CF=CD

∴點C是線段GD的中點。   ………………10分

考點：圓的切線的性質定理證明。

點評：本題利用了切線的性質，四邊形的內角和為360度及圓周角定理求解．屬于基礎題型。