Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) 點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？ 若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）以 為直徑的圓過(guò) 軸上的定點(diǎn)

【解析】分析：（1）根據(jù)條件可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為．（2）假設(shè)以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn), 設(shè) .由題意可得，，由得．設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和上式可得，解得，進(jìn)而可得以 為直徑的圓過(guò) 軸上的定點(diǎn)．

詳解：（1）由已知得垂直平分，故

又軸，

則，

所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，

故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，

由條件可得軌跡的方程為．

（2）假設(shè)以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn) ．

設(shè) ,

則 ，

直線 的方程為 ，

令得 即．

同理可得.

由已知得 恒成立,即，

即．

設(shè)直線的方程為 ，

由消去整理得，

所以，

于是，

整理得，

解得 ．

故以 為直徑的圓過(guò) 軸上的定點(diǎn)．