如圖2－1－5,點(diǎn)P為斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn),PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M,PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.

(1)求證:CC1⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并予以證明.

圖2-1-5

分析:考慮到三個(gè)側(cè)面的面積需要作出三個(gè)側(cè)面的高,由已知條件可得△PMN為三棱柱的直截面,選取三棱柱的直截面三角形作類比對(duì)象.

(1)證明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,?

∴BB1⊥平面PMN.?

∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1,?

∴CC1⊥MN.

(2)解:在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,有?

S=S+S-2S·Scosα.??

其中α為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角.?

∵CC1⊥平面PMN,?

∴上述的二面角的平面角為∠MNP.?

在△PMN中,?

PM 2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNPPM 2·CC12=PN2·CC12+MN2·CC12-2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP.?

由于S=PN·CC1,S=MN·CC1,S=PM·BB1=PM·CC1,?

∴有S=S+S-2S·Scosα.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，橢圓過點(diǎn)B(0，
5
)，點(diǎn)F、A分別為橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)且有
AF
=
FM
=
1
2
FO
．
（1）求橢圓的方程．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x，y），符合條件：
PM
•
PA
=0，當(dāng)y≠0時(shí)，求證：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）一定在橢圓內(nèi)部．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，-2）、（5，2）、（-3，0），點(diǎn)N在AC上，且
AN
=2
NC
，AM與BN的交點(diǎn)為P，求：
（1）點(diǎn)P分向量
AM
所成的比λ的值；
（2）P點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PC和割線PBA，點(diǎn)C為切點(diǎn)，割線PBA交⊙O于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．
求證：
PC
PA
=
BD
DC
．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a，b∈R，若矩陣A=
a0
-1b
把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
求橢圓C：
x2
16
+
y2
9
=1上的點(diǎn)P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
，求x+y+z的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖2－1－5,點(diǎn)P為斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn),PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M,PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.

(1)求證:CC1⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并予以證明.

            圖2-1-5

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