Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x，g（x）=x²+x+a，若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程三個(gè)根，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出極值，列出不等式求解即可．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于方程
x³-2x²+x=x²+x+a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．即關(guān)于x的方程x³-3x²-a=0，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．…（3分）
令h（x）=x³-3x²-a，則h′（x）=3x²-6x，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2；
令h′（x）＞0，解得x＜0或x＞2．
所以h（x）在（-∞，0），（2，+∞）上為增函數(shù)，在（0，2）上為減函數(shù)．…（8分）
所以h（x）為極大值，h（2）為極小值．
從而h（2）＜0＜h（0），解得-4＜a＜0． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．