已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx+
1+cos2x
2
+a（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并指出其單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，
π
2
]上的最大值是2，試求實數(shù)a的值．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）將函數(shù)f（x）進行化簡，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期，并指出其單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，
π
2
]上的最大值是2，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)a的值．
解答： 解：（1）∵f(x)=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a=sin(2x+
π
6
)+
1
2
+a…（2分），
∴最小正周期T=
2π
2
=π…（4分）
單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）．…（6分）
（2）令u=2x+
π
6
…（7分），
則g(u)=sinu+
1
2
+a，u∈[
π
6
，
7π
6
]…（9分）．
f（x）的最大值為
3
2
+a=2 …（11分）． 解得a=
1
2
…（12分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-2x2+x，g（x）=x2+x+a，若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x|x-m|+2x-3．
（1）當m=4時，求函數(shù)y=f（x）（x∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m=4，并且2≤x≤5時，t≤f（x）≤2t+8恒成立，求t的范圍
（3）求m的取值范圍，使得函數(shù)y=f（x）在R上恒為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
x2+12x+37
+
x2-4x+13
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=-x2-2x+3，當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大（小）值時所對應(yīng)的自變量x的值．
（1）0≤x≤3；         
（2）-2≤x≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log 
1
2
x＞
1
4
}
（1）求（∁RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y滿足直線l：x+2y=6．
（1）求原點O關(guān)于直線l的對稱點P的坐標；
（2）當x∈（1，3]時，求k=
y-1
x-1
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=sinωx（ω≠0）在[-
π
4
，
π
3
]上至少含有一個周期，則ω的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合M={平面內(nèi)的點（a，b）}，N={f（x）|f（x）=acos3x+bsin3x}，給出M到N的映射f：（a，b）→f（x）=acos3x+bsin3x．給出下列關(guān)于f：（-
2
，
2
）→f（x）的命題：
①f（x）=2sin（3x-
3π
4
）；
②其圖象可由y=2sin3x向左平移
π
4
個單位得到；
③點（
3π
4
，0）是其圖象的一個對稱中心；
④其最小正周期是
2π
3
；
⑤在x∈[
5π
12
，
3π
4
]上為減函數(shù)．
其中正確的命題的序號是
 
．

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