Question

（本小題滿分12分）A（理）已知函數(shù)，其中.

(1)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)求函數(shù)的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1)實(shí)數(shù)的取值范圍是；

(2)

【解析】(1) 方法一：存在，使得，

即存在，使得，

當(dāng)時(shí)，滿足要求；

當(dāng)時(shí)，滿足要求；                                           

當(dāng)時(shí)，，解得                                

綜上得，                                    ------4分

方法二：存在，使得，即存在，使得

顯然，分離參數(shù)得，∴

而，其中

∴

∴                          ------4分

(2)

∴ =

=   ------6分

設(shè)，，則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.    

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上為減函數(shù)，

∴函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052302273214061612/SYS201205230231509843753456_DA.files/image027.png">，即

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)函數(shù)在上為減函數(shù)，

∴函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052302273214061612/SYS201205230231509843753456_DA.files/image027.png">，即      ------8分

當(dāng)時(shí)，

令，解得或（舍）.

當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

		0
		極小值

    

 

 

 

 

 

 

若，即 時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù).

∴函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052302273214061612/SYS201205230231509843753456_DA.files/image027.png">，即

若，即 時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增

∴

函數(shù)在上的最大值為與中的較大者.

∵，，∴

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)  ------11分

綜上，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052302273214061612/SYS201205230231509843753456_DA.files/image003.png">；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052302273214061612/SYS201205230231509843753456_DA.files/image067.png">；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052302273214061612/SYS201205230231509843753456_DA.files/image068.png">               ------12分