Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-ka_n（k＞0，n∈N^*）．
（1）用n、k表示a_n；
（2）數(shù)列{b_n}對(duì)n∈N^*均有（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）在（1）、（2）中，設(shè)k=1，b_n=n+1，x_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求證：x_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）由前n項(xiàng)的和S_n與a_n的關(guān)系 a_n+1=S_n+1-S_n，得到數(shù)列的遞推公式，注意分析k是否為零，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）若（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，即∴（b_n+1-b_n+2）lg+（b_n+2-b_n）lg[（×（）²]+（b_n-b_n+1）lg[（×（）⁴]=0，展開整理后可得b_n+2+b_n=2b_n+1，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）將k=1代入，利用錯(cuò)位相減法，求出x_n=3-（n+3），結(jié)合（n+3）＞0，可得x_n＜3
解答：解：（1）∵S_n=1-ka_n，
∴S₁=a₁=1-ka₁，
∴a₁=
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（1-ka_n+1）-（1-ka_n），
∴a_n+1=ka_n-ka_n+1，即 （k+1）a_n+1=ka_n，
∵kk≠1解得a_n+1=a_n（1）
∵k＞0，a₁≠0，由（1）式易知a_n≠0，n≥1，
∴=
故該數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
∴a_n=×（）^n-1．
證明：（2）∵（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，
∴（b_n+1-b_n+2）lg+（b_n+2-b_n）lg[（×（）²]+（b_n-b_n+1）lg[（×（）⁴]=0…①
令lg=m，lg=n，則m，n均不為0
則①式可化為m（b_n+1-b_n+2）+（m+2n）（b_n+2-b_n）+（m+4n）（b_n-b_n+1）=0
即b_n+2+b_n=2b_n+1，
即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）若k=1，a_n=×（）^n-1=（）ⁿ，
又∵b_n=n+1，
∴x_n=×2+×3+×4+…+（n+1）…①，
∴x_n=×2+×3+…+n+（n+1）…②
①-②得x_n=1+[++…+]-（n+1）=-
∴x_n=3-（n+3）
∵（n+3）＞0
∴x_n＜3
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列的應(yīng)用，是數(shù)列的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，容易出錯(cuò)，但解題思路易梳理，屬于中檔題．