精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率e=
2
2
，且右焦點F到左準線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）又已知點A為拋物線y2=2px（p＞0）上一點，直線FA與橢圓C的交點B在y軸的左側(cè)，且滿足
AB
=2
FA
，求p的最大值．
分析：（1）首先由離心率得出
c
a
=
2
2
，然后根據(jù)右焦點到左準線的距離d=c+
a2
c
=3，就可以求出橢圓方程；
（2）先設(shè)B點坐標，然后根據(jù)
AB
=2
FA
，表示出A點坐標，并代入拋物線方程得出12p=
2-
x
2
0
x0+2
，再令t=x0+2，用的含p式子表示p，
解答：解：（1）∵
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率e=
2
2
，∴
c
a
=
2
2
．①
而右焦點到左準線的距離d=c+
a2
c
=3．②
由①②解得a=
2
，c=1，從而b=1．
從而所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1（6分）
（2）橢圓的右焦點為F（1，0），點B在橢圓
x2
2
+y2=1（x＜0）上．
設(shè)B（x0，y0），其中-
2
≤x0＜0，
由
AB
=2
FA
，知xA=
x0+2
3
，yA=
y0
3
．
由點A在拋物線y2=2px上，得
y
2
0
9
=2p•
x0+2
3
．
又
y
2
0
=1-
x
2
0
2
，∴12p=
2-
x
2
0
x0+2
．令t=x0+2，則2-
2
≤t＜2．
即12p=
-t2+4t-2
t
=-(t+
2
t
-4)．
∵2-
2
≤t＜2，
∴t+
2
t
≥2
2
（當且僅當t=
2
時取“=”）．
∴p≤
1
3
-
2
6
．
又當t=
2
時，x0=
2
-2為橢圓在y軸左側(cè)上的點．
故p的最大值為
1
3
-
2
6
．（14分）
點評：本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓與拋物線的綜合，巧用a+b≥2
ab
是解決（2）問的關(guān)鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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