【題目】如圖,設(shè)橢圓C: (a>b>0),動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第一象限.

(1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直,證明:點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a﹣b.

【答案】
(1)解:設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0),由 ,消去y得

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.

由于直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,故△=0,即b2﹣m2+a2k2=0,

此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣ ,代入y=kx+m得

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣k +m= ,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣ ),

又點(diǎn)P在第一象限,故m>0,

故m= ,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P( , ).


(2)解:由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與直線l垂直,故直線l1的方程為x+ky=0,所以點(diǎn)P到直線l1的距離

d= ,

整理得:d= ,

因?yàn)閍2k2+ ≥2ab,所以 =a﹣b,當(dāng)且僅當(dāng)k2= 時(shí)等號(hào)成立.

所以,點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a﹣b.


【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0),由 ,消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,利用△=0,可求得在第一象限中點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與直線l垂直,設(shè)直線l1的方程為x+ky=0,利用點(diǎn)到直線間的距離公式,可求得點(diǎn)P到直線l1的距離d= ,整理即可證得點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a﹣b.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知=(2﹣sin(2x+),﹣2),=(1,sin2x),f(x)= , (x∈[0,])
(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f()=1,b=1,c= , 求a的值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ae2x﹣be2x﹣cx(a,b,c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為4﹣c.
(1)確定a,b的值;
(2)若c=3,判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(x)有極值,求c的取值范圍.

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【題目】當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿足 時(shí),1≤ax+y≤4恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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【題目】銀川一中為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,抽取在校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)分成六組,并作出頻率分布直方圖(如圖),將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.

課外體育不達(dá)標(biāo)

課外體育達(dá)標(biāo)

合計(jì)

合計(jì)

(1)請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?

(2)在這兩組中采取分層抽樣,抽取6人,再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加體育知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查,求這2人中一人來(lái)自“課外體育達(dá)標(biāo)”和一人來(lái)自“課外體育不達(dá)標(biāo)”的概率.

附參考公式與:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于函數(shù),若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),使得成立,則稱有“※點(diǎn)”。

(1)判斷函數(shù)上是否有“※點(diǎn)”。并說(shuō)明理由;

(2)若函數(shù)上有“※點(diǎn)”,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)100名性別不同的高二學(xué)生是否愛(ài)吃零食,得到如下的列聯(lián)表:

總計(jì)

愛(ài)好

10

40

50

不愛(ài)好

20

30

50

總計(jì)

30

70

100

附表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

其中

則下列結(jié)論正確的是( )

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為“是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)”

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為“是否愛(ài)吃零食與性別無(wú)關(guān)”

C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下,認(rèn)為“是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)”

D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下,認(rèn)為“是否愛(ài)吃零食與性別無(wú)關(guān)”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列五個(gè)結(jié)論:

集合2,34,5,集合,若f,則對(duì)應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的映射;

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,則函數(shù)的定義域也是;

存在實(shí)數(shù),使得成立;

是函數(shù)的對(duì)稱軸方程;

曲線和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,則m不可能為1

其中正確的有______寫(xiě)出所有正確的序號(hào)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)二項(xiàng)式(1-x10,

(1)展開(kāi)式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)?寫(xiě)出這一項(xiàng);

(2)求展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和;

(3)寫(xiě)出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

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