Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（

1

2

，

2

）．
（1）求實(shí)數(shù)α的值；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由于已知函數(shù)為冪函數(shù)，我們可以使用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，設(shè)出冪函數(shù)的解析式，再由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（

1

2

，

2

），構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到實(shí)數(shù)α的值；
（2）根據(jù)（1）中所求的函數(shù)的解析式，我們求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析x∈（0，+∞）時，導(dǎo)函數(shù)值的符號，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=x^a，
又∵冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（

1

2

，

2

）．
∴

2

=

1

2

^a，
解得a=-

1

2

（2）由（1）得y=x-

1

2

，
則y′=-

1

2

•x-

3

2

當(dāng)x∈（0，+∞）時，y′＜0恒成立
故f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，待定系數(shù)法，及冪函數(shù)的單調(diào)性，其中當(dāng)已知函數(shù)的類型時，常用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式．