Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）有公共焦點(diǎn)F₂（1，0），且3a²=4b²．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，與拋物線交于不同兩點(diǎn)P，Q，且滿足

F1P

=λ

F1Q

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合,橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）有焦點(diǎn)F₂（1，0），可得拋物線方程；根據(jù)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有焦點(diǎn)F₂（1，0），且3a²=4b²，可得橢圓方程；
（2）設(shè)P（

s2

4

，s），Q（

t2

4

，t），利用

F1P

=λ

F1Q

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）有焦點(diǎn)F₂（1，0），
∴拋物線的方程為y²=4x；
又c²=a²-b²=1，3a²=4b²，
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)P（

s2

4

，s），Q（

t2

4

，t），
∵F₁（-1，0），

F1P

=λ

F1Q

，
∴（

s2

4

+1，s）=λ（

t2

4

+1，t），
∴

s2

4

+1=λ（

t2

4

+1）①，s=λt…②，
由①②可得

t2

4

λ(λ-1)=λ-1
∴λ＞0且λ≠1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定橢圓、拋物線的方程是關(guān)鍵．