Question

（本小題滿分12分）已知四棱錐中平面，

且，底面為直角梯形，

分別是的中點．

（1）求證：// 平面；

（2）求截面與底面所成二面角的大小；

（3）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證//平面；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：以為原點，以分別為建立空間直角坐標系，

由，分別是的中點，

可得：

，

∴，………2分  

設平面的的法向量為，

則有：

令，則，      ……………3分

∴，又平面

∴//平面                              ……………4分

（2）設平面的的法向量為，又

則有：

令，則，        …………6分

又為平面的法向量，∴，又截面與底面所成二面角為銳二面角，

∴截面與底面所成二面角的大小為        …………8分

（3）∵，

∴所求的距離…12分

考點：線面垂直的性質定理；線面平行的判定定理；二面角；點到面的距離。

點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單運算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。