Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）當(dāng)，時，若，求的值；

（3）若，且對任意不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）或（3）

【解析】

（1）當(dāng)時，為奇函數(shù)；當(dāng)時，為非奇非偶函數(shù).運(yùn)用奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)，時，若，即為，當(dāng)，當(dāng)，去掉絕對值，由指數(shù)方程的解法，即可得到所求的值；

（3）只需考慮的情況，此時，不等式即，即，故.利用函數(shù)的單調(diào)性求得和，從而求得的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時，，

當(dāng)時，為奇函數(shù)；

當(dāng)時，為非奇非偶函數(shù).

理由：當(dāng)時，，

，

為奇函數(shù)；

當(dāng)時，，

且，則為非奇非偶函數(shù)；

（2）當(dāng)，時，若，

即為，

當(dāng)，即時，，

解方程可得或（舍去）；

當(dāng)，即時，，

解方程可得.

則或；

（3）當(dāng)時，不等式即，顯然恒成立，

故只需考慮的情況，

此時，不等式即，即，

故.

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故.

對于函數(shù)，，

當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值.

此時，要使存在，必須有，

即，此時的取值范圍是.