Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：2x²-y²=1．
（1）設(shè)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過C的左焦點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設(shè)斜率為k（）的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出雙曲線的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)M（x，y），利用|MF|²=（x+）²+y²，求出x的范圍，推出M的坐標(biāo)．
（2）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸進(jìn)線的交點(diǎn)，然后求出平行四邊形的面積．
（3）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b²=k²+1，通過求解=0．證明PO⊥OQ．
解答：解：（1）雙曲線C₁：的左焦點(diǎn)F（-），
設(shè)M（x，y），則|MF|²=（x+）²+y²，
由M點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，可知x≥，
所以|MF|==2，得x=，
所以M（）．
（2）左焦點(diǎn)F（-），
漸近線方程為：y=±x．
過F與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，
所以，解得．
所以所求平行四邊形的面積為S=．
（3）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，
因直線PQ與已知圓相切，故，
即b²=k²+1…①，由，得（2-k²）x²-2bkx-b²-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）．
所以=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=
=．
由①式可知，
故PO⊥OQ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力．