Question

當(dāng)鈍角△ABC的三邊a，b，c是三個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)，則△ABC外接圓的半徑為

8 15

15

．

Answer 1

分析：由題意設(shè)出鈍角三角形的三邊長分別為x，x+1，x+2，可得出x+2所對(duì)的角為鈍角，設(shè)為α，利用余弦定理表示出cosα，將設(shè)出的三邊代入，根據(jù)cosα小于0，得出x的范圍，在范圍中找出整數(shù)x的值，確定出三角形的三邊長，進(jìn)而確定出cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圓的半徑．

解答：解：由題意得：鈍角△ABC的三邊分別為x，x+1，x+2，且x+2所對(duì)的角為鈍角α，
∴由余弦定理得：cosα=

x2+(x+1)2-(x+2)2

2x(x+1)

=

x-3

2x

＜0，即x＜3，
∴x=1或x=2，
當(dāng)x=1時(shí)，三角形三邊分別為1，2，3，不能構(gòu)成三角形，舍去；
當(dāng)x=2時(shí)，三角形三邊長分別為2，3，4，此時(shí)cosα=-

1

4

，
∴sinα=

1-cos2α

=

15

4

，
設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，根據(jù)正弦定理得：

4

15 4

=2R，
解得：R=

8 15

15

．
故答案為：

8 15

15

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．