Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l₁、l₂，經(jīng)過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁、l₂于A、B兩點，已知|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差數(shù)列，且

BF

與

FA

反向．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若直線AB被雙曲線截得的弦長為

8

3

，求雙曲線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設實軸長為2a，虛軸長為2b，令∠AOF=α，則由題意知tanα=

b

a

，△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α=

AB

OA

，由此推導出-tan2α=-

2tanα

1-tan2α

=

AB

OA

=

m

3 4 m

=

4

3

，從而能求出離心率．
（2）由（1）設雙曲線方程為：

x2

4m2

-

y2

m2

=1，直線AB的方程為：y=2x-2

5

m，由

x2 4m2 - y2 m2 =1 y=2x-2 5 m

，得：15x²-32

5

mx+84m²=0，由此利用弦長公式能求出雙曲線方程．

解答： 解：（1）如圖，設實軸長為2a，虛軸長為2b，
令∠AOF=α，則由題意知tanα=

b

a

，
△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α=

AB

OA

，
∵|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差數(shù)列，
∴設|

OA

|=m-d、|

AB

|=m、|

OB

|=m+d，
∵OA⊥BF，∴（m-d）²+m²=（m+d）²，
整理，得d=

1

4

m，
∴-tan2α=-

2tanα

1-tan2α

=

AB

OA

=

m

3 4 m

=

4

3

，
解得

b

a

=2或

b

a

=-

1

2

（舍），
∴b=2a，c=

4a2+a2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
（2）由（1）設雙曲線方程為：

x2

4m2

-

y2

m2

=1，
∵直線AB垂直于l₁，故直線AB的方程為：y=2x-2

5

m，
由

x2 4m2 - y2 m2 =1 y=2x-2 5 m

，得：15x²-32

5

mx+84m²=0，
設A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則x1+x2=

32 5 m

15

，x₁x₂=

84m

15

，
∵直線AB被雙曲線截得的弦長為

8

3

，
∴

(1+4)[( 32 5 m 15 )2-4× 84m 15 ]

=

8

3

，解得m=2，
∴雙曲線方程為

x2

16

-

y2

4

=1．

點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的靈活運用．