在數(shù)列{an}中，已知a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意正整數(shù)n，Sn+1=4an+2．
（I）令bn=an+1-2an（n=1，2，…），證明{bn}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）令f（x）=xln（1+x）-a（x+1），為數(shù)列數(shù)學(xué)公式．

解（I）an+1=Sn+1-Sn=4（an-an-1）①
∵bn=an+1-2an
∴bn+1=an+2-2an+1
由①得bn+1=4（an+1-an）-2an+1=2（an+1-2an）
∴
∴bn}是公比為2的等比數(shù)列
∵b1=a2-2a1=3
∴bn=3×2n-1
（II）∵
∴
∴=
∴
分析：（I）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系將已知條件中的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)間的遞推關(guān)系，求出的值，利用等比數(shù)列的定義得證，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）先求出{cn}的通項(xiàng)，代入中，利用裂項(xiàng)相消法求出和Tn，利用基本函數(shù)的極限值求出極限．
點(diǎn)評(píng)：解決數(shù)列中和與項(xiàng)的遞推關(guān)系的問題，也不是仿寫等式關(guān)系，相減利用和與項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅有項(xiàng)的關(guān)系；求數(shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)鍵是判斷出數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的公式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求使Sn＜
m
20
對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個(gè)位數(shù)（n∈N*），若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為2011，則正整數(shù)k之值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮南二模）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計(jì)算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn．

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