Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；

（2）求在區(qū)間的最小值，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）[﹣5，20)；（2）g（a），g（a）的最大值為．

【解析】

（1）函數(shù)在(﹣3，2）上單調(diào)遞減，在（2，3]上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間(﹣3，3]上的值域；

（2）由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1﹣a，分①當(dāng)1﹣a﹣3、②當(dāng)﹣3<1﹣a<3、③當(dāng)1﹣a≥3三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值g（a）并利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求解g（a）的最大值．

（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，

函數(shù)在（﹣3，2）上單調(diào)遞減，在（2，3]上單調(diào)遞增，

∴x＝2，f（x）＝﹣5，x＝﹣3，f（x）＝20，x＝3，f（x）＝﹣4，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣3，3]上的值域是[﹣5，20)；

（2）∵函數(shù)f（x）＝x2+2（a﹣1）x+a＝[x+（a﹣1）]2﹣1+3a﹣a2 的對(duì)稱軸為x＝1﹣a，

①當(dāng)1﹣a≤﹣3，即a≥4時(shí)，函數(shù)y在[﹣3，3]上是增函數(shù)，

當(dāng)x＝﹣3時(shí)，函數(shù)y取得最小值為15﹣5a；

②當(dāng)﹣3<1﹣a＜3，即﹣2＜a<4時(shí)，當(dāng)x＝1﹣a時(shí)，函數(shù)y取得最小值為﹣1+3a﹣a2；

③當(dāng)1﹣a≥3，即a≤﹣2時(shí)，函數(shù)y在[﹣3，3]上是減函數(shù)，故當(dāng)x＝3時(shí)，數(shù)y取得最小值為3+7a．

綜上，

g（a），

又當(dāng)a≥4時(shí)，g（a）15﹣5a≤﹣5，當(dāng)﹣2＜a<4時(shí)，g（a）﹣1+3a﹣a2，當(dāng)a≤﹣2時(shí)，g（a）≤﹣11，

綜上g（a）的最大值為．